El plano de fases permite explorar graficamente el comportamiento sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden:

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = f(x, y) \\ \frac{dy}{dt} = g(x, y) \end{cases} \]

El plano de fases muestra las trayectorias (órbitas) en el espacio \((x, y)\), donde cada punto representa un estado del sistema y las flechas indican la dirección del flujo.

Aplicaciones Prácticas

Física:

  • Péndulo: \((θ, \dot{θ})\) → posición y velocidad angular
  • Masa-resorte: \((x, \dot{x})\) → posición y velocidad
  • Circuitos eléctricos: \((I, V)\) → corriente y voltaje

Biología:

  • Presa-depredador (Lotka-Volterra): \((x, y)\) → poblaciones
  • Epidemias (SIR): \((S, I)\) → susceptibles e infectados
  • Reacciones químicas: concentraciones de reactivos

Economía:

  • Modelos de crecimiento: \((K, L)\) → capital y trabajo
  • Ciclos económicos: \((Y, I)\) → producción e inversión

Ingeniería:

  • Sistemas de control: \((x, \dot{x})\) → estado y derivada
  • Robótica: \((q, \dot{q})\) → posición y velocidad articular

Conceptos Clave

NotaTerminología

Plano de fases: - Espacio \((x, y)\) donde cada punto representa un estado del sistema - Las órbitas muestran la evolución temporal del sistema

Campo vectorial: - En cada punto \((x, y)\), el vector \((\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})\) indica la dirección del flujo

Órbitas (trayectorias): - Curvas solución en el plano de fases - Representan la evolución del sistema desde una condición inicial

Puntos de equilibrio: - Puntos donde \(\frac{dx}{dt} = 0\) y \(\frac{dy}{dt} = 0\) - El sistema permanece constante en estos puntos

Tipos de equilibrio: - Nodo: Todas las órbitas convergen/divergen radialmente - Foco (espiral): Órbitas espirales convergentes/divergentes - Centro: Órbitas cerradas (periódicas) - Silla: Equilibrio inestable con separatrices

Visualizador Interactivo

Galería de Sistemas Clásicos

NotaSistemas Lineales y No Lineales

Sistema: \(\frac{dx}{dt} = -y\), \(\frac{dy}{dt} = x\)

Tipo: Centro estable (órbitas cerradas)

Características: Oscilaciones periódicas sin amortiguamiento.

Observación: Las trayectorias son círculos concéntricos alrededor del origen.

Sistema: \(\frac{dx}{dt} = -x\), \(\frac{dy}{dt} = -2y\)

Tipo: Nodo estable (sumidero)

Características: El sistema es asintóticamente estable.

Observación: Todas las trayectorias convergen al origen.

Sistema: \(\frac{dx}{dt} = x\), \(\frac{dy}{dt} = 2y\)

Tipo: Nodo inestable (fuente)

Características: El sistema es completamente inestable.

Observación: Todas las trayectorias se alejan del origen.

Sistema: \(\frac{dx}{dt} = x\), \(\frac{dy}{dt} = -y\)

Tipo: Punto de silla (hiperbólico)

Características: Inestable con variedades estable (eje y) e inestable (eje x).

Observación: Las trayectorias se alejan excepto en direcciones específicas.

Sistema: \(\frac{dx}{dt} = -x - y\), \(\frac{dy}{dt} = x - y\)

Tipo: Foco estable (espiral entrante)

Características: Combina oscilación con convergencia.

Observación: Las trayectorias espiralan hacia el origen.

Sistema: \(\frac{dx}{dt} = x - y\), \(\frac{dy}{dt} = x + y\)

Tipo: Foco inestable (espiral saliente)

Características: Oscilación con divergencia.

Observación: Las trayectorias espiralan alejándose del origen.

Sistema: \[\frac{dx}{dt} = -y, \quad \frac{dy}{dt} = x\]

Tipo: Centro (órbitas cerradas)

Características: Representa un oscilador sin amortiguamiento. La energía se conserva: \(E = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)\).

Observación: Órbitas circulares perfectas.

Sistema: \(\frac{dx}{dt} = y\), \(\frac{dy}{dt} = -\sin(x)\)

Tipo: Sistema no lineal conservativo

Características: Péndulo simple sin fricción. Centros en \(x = 0, \pm 2\pi, \ldots\) y sillas en \(x = \pm \pi, \pm 3\pi, \ldots\)

Sistema: \[\frac{dx}{dt} = x(1-y), \quad \frac{dy}{dt} = -y(1-x)\]

Tipo: Sistema conservativo con órbitas cerradas

Características: Modela poblaciones de presas (\(x\)) y depredadores (\(y\)). Equilibrio en \((1,1)\).

Observación: Las órbitas cerradas representan ciclos periódicos de poblaciones: cuando hay muchas presas, los depredadores crecen; cuando hay muchos depredadores, las presas disminuyen, y el ciclo se repite.

Sistema: \[\frac{dx}{dt} = y, \quad \frac{dy}{dt} = (1-x^2)y - x\]

Tipo: Sistema con ciclo límite estable

Características: Todas las órbitas (excepto el origen) convergen al mismo ciclo periódico, independientemente de la condición inicial.

Observación: Las trayectorias desde dentro espiralan hacia fuera, mientras que las de fuera espiralan hacia dentro, ¡todas convergen al mismo ciclo!

Sistema: \[\frac{dx}{dt} = y, \quad \frac{dy}{dt} = -0.1y + x - x^3\]

Tipo: Oscilador no lineal con dos pozos de potencial

Características: Tres equilibrios: \((0,0)\) inestable, \((±1, 0)\) estables.

Observación: Las órbitas cerca de \((±1, 0)\) oscilan en cada pozo. Las que cruzan el origen pueden transitar entre pozos.

Sistema: \[\frac{dx}{dt} = y + x(1-x^2-y^2), \quad \frac{dy}{dt} = -x + y(1-x^2-y^2)\]

Tipo: Sistema con ciclo límite estable

Características: Todas las trayectorias convergen al círculo unitario (\(x^2 + y^2 = 1\)).

Observación: Las espirales desde dentro y fuera convergen al ciclo límite en \(x^2+y^2=1\).

Método Numérico: Runge-Kutta 4

¿Por qué RK4 en lugar de Euler?

Para integrar un sistema de EDOs y calcular órbitas precisas, necesitamos un método numérico robusto. He elegido Runge-Kutta de 4º orden (RK4) por las siguientes razones:

Método Error Local Error Global Evaluaciones por paso
Euler \(O(h^2)\) \(O(h)\) 1
RK2 (punto medio) \(O(h^3)\) \(O(h^2)\) 2
RK4 \(O(h^5)\) \(O(h^4)\) 4

Interpretación: - Con \(h = 0.1\), Euler tiene error \(\sim 0.1\) - Con el mismo paso, RK4 tiene error \(\sim 0.0001\) (¡1000 veces menor!)

1. Precisión superior: - Para el mismo tamaño de paso \(h\), RK4 es órdenes de magnitud más preciso - Permite usar pasos más grandes sin perder precisión - Reduce la acumulación de error en trayectorias largas

2. Estabilidad: - Menos sensible a la elección del paso \(h\) - Maneja mejor sistemas rígidos (stiff) - No diverge tan fácilmente como Euler

3. Visualización de calidad: - Las órbitas son suaves y precisas - Los ciclos límite se cierran correctamente - Los equilibrios se mantienen estables

4. Eficiencia relativa: - Aunque requiere 4 evaluaciones por paso vs 1 de Euler - Puedes usar pasos 5-10 veces mayores - Resultado: similar coste computacional pero mucho más preciso

El método de Euler (\(y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n)\)) tiene problemas serios:

❌ Problema 1: Acumulación de error

Tras 1000 pasos:
- Euler: error acumulado ≈ 1000 × O(h²) = O(h)
- RK4: error acumulado ≈ 1000 × O(h⁵) = O(h⁴)

❌ Problema 2: Inestabilidad numérica - En sistemas oscilatorios (como el armónico), Euler introduce espirales espurias - Las órbitas cerradas se convierten en espirales divergentes - Ejemplo: \(dx/dt = -y, dy/dt = x\) con Euler genera espirales, no círculos

❌ Problema 3: Conservación de energía - Sistemas conservativos (Hamiltoniano) pierden/ganan energía artificialmente - Las órbitas cambian de tamaño con el tiempo

Para un sistema \(\frac{dx}{dt} = f(x,y)\), \(\frac{dy}{dt} = g(x,y)\):

Paso 1: Evaluar en el punto actual \[k_1^x = f(x_n, y_n), \quad k_1^y = g(x_n, y_n)\]

Paso 2: Evaluar en el punto medio usando \(k_1\) \[k_2^x = f(x_n + \tfrac{h}{2}k_1^x, y_n + \tfrac{h}{2}k_1^y), \quad k_2^y = g(x_n + \tfrac{h}{2}k_1^x, y_n + \tfrac{h}{2}k_1^y)\]

Paso 3: Evaluar en el punto medio usando \(k_2\) \[k_3^x = f(x_n + \tfrac{h}{2}k_2^x, y_n + \tfrac{h}{2}k_2^y), \quad k_3^y = g(x_n + \tfrac{h}{2}k_2^x, y_n + \tfrac{h}{2}k_2^y)\]

Paso 4: Evaluar en el punto final usando \(k_3\) \[k_4^x = f(x_n + hk_3^x, y_n + hk_3^y), \quad k_4^y = g(x_n + hk_3^x, y_n + hk_3^y)\]

Actualización: Promedio ponderado

\[\begin{align*} x_{n+1} &= x_n + \frac{h}{6}(k_1^x + 2k_2^x + 2k_3^x + k_4^x) \\ y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6}(k_1^y + 2k_2^y + 2k_3^y + k_4^y) \end{align*}\]

Interpretación: RK4 aproxima la solución usando el desarrollo de Taylor hasta orden 4, pero sin calcular derivadas explícitamente.

Sistema: Oscilador armónico \(\frac{dx}{dt} = -y\), \(\frac{dy}{dt} = x\)

Solución exacta: \(x(t) = \cos(t)\), \(y(t) = \sin(t)\) (círculo unitario)

Con Euler (\(h=0.1\), 100 pasos = \(t=10\)): - Error en posición: \(\sim 1.5\) (¡150% del radio!) - La órbita diverge como espiral

Con RK4 (\(h=0.1\), 100 pasos = \(t=10\)): - Error en posición: \(\sim 0.0001\) (0.01% del radio) - La órbita permanece circular

Euler: Solo para visualizaciones muy rápidas o didácticas (mostrar problemas de estabilidad)

RK2 (Heun, punto medio): Equilibrio entre precisión y velocidad para sistemas simples

RK4: Recomendado para la mayoría de aplicaciones (usado en este visualizador)

RK45 (Dormand-Prince): Paso adaptativo, óptimo para sistemas con diferentes escalas de tiempo

Métodos implícitos (BDF): Sistemas rígidos (stiff), ecuaciones químicas, circuitos

Código del método RK4

El método está implementado en la función rk4_step:

rk4_step = (x, y, t, dt, f, g) => {
  // k1: pendiente en el punto actual
  const k1_x = f(x, y, t);
  const k1_y = g(x, y, t);
  
  // k2: pendiente en el punto medio (usando k1)
  const k2_x = f(x + dt/2 * k1_x, y + dt/2 * k1_y, t + dt/2);
  const k2_y = g(x + dt/2 * k1_x, y + dt/2 * k1_y, t + dt/2);
  
  // k3: pendiente en el punto medio (usando k2)
  const k3_x = f(x + dt/2 * k2_x, y + dt/2 * k2_y, t + dt/2);
  const k3_y = g(x + dt/2 * k2_x, y + dt/2 * k2_y, t + dt/2);
  
  // k4: pendiente en el punto final (usando k3)
  const k4_x = f(x + dt * k3_x, y + dt * k3_y, t + dt);
  const k4_y = g(x + dt * k3_x, y + dt * k3_y, t + dt);
  
  // Promedio ponderado: más peso a k2 y k3 (puntos medios)
  return {
    x: x + dt/6 * (k1_x + 2*k2_x + 2*k3_x + k4_x),
    y: y + dt/6 * (k1_y + 2*k2_y + 2*k3_y + k4_y)
  };
}

Clasificación de Sistemas Lineales 2D

Para un sistema lineal con coeficientes constantes:

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = ax + by \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}, \quad A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

El comportamiento del sistema está completamente determinado por los autovalores de la matriz \(A\):

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0 \]

donde \(\text{tr}(A) = a + d\) (traza) y \(\det(A) = ad - bc\) (determinante).

Casos

La clasificación completa según los autovalores \(\lambda_1, \lambda_2\):

Caso Tipo Autovalores Condición
I Nodo (estable/inestable) Reales distintos, mismo signo \(\Delta > 0\), \(\det > 0\)
II Punto silla Reales, signos opuestos \(\Delta > 0\), \(\det < 0\)
III Nodo estrella Real doble, mult. geom. 2 \(A = \lambda I\)
IV Nodo impropio Real doble, mult. geom. 1 \(\Delta = 0\), \(A \neq \lambda I\)
V Centro Complejos puros \(\Delta < 0\), \(\text{tr}(A) = 0\)
VI Foco/Espiral Complejos con parte real \(\Delta < 0\), \(\text{tr}(A) \neq 0\)
VII Degenerado Al menos un autovalor cero \(\det = 0\)

donde \(\Delta = \text{tr}^2(A) - 4\det(A)\) es el discriminante.

NotaClasificación Completa de Sistemas Lineales 2D

Autovalores reales distintos, mismo signo: \(\lambda_1 < \lambda_2 < 0\) o \(0 < \lambda_1 < \lambda_2\)

Ecuación característica: \(\Delta = \text{tr}^2 - 4\det > 0\) y \(\det > 0\)

Comportamiento: - Nodo estable: \(\lambda_1, \lambda_2 < 0\) → Todas las órbitas convergen al origen - Nodo inestable: \(\lambda_1, \lambda_2 > 0\) → Todas las órbitas divergen del origen

Direcciones principales: Los autovectores marcan las direcciones de máxima/mínima convergencia.

Matriz ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = -1, \, \lambda_2 = -2\]

Autovectores: \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Autovalores reales de signo opuesto: \(\lambda_1 < 0 < \lambda_2\)

Ecuación característica: \(\Delta > 0\) y \(\det < 0\)

Comportamiento: - Atrae en la dirección del autovector con \(\lambda < 0\) (variedad estable) - Repele en la dirección del autovector con \(\lambda > 0\) (variedad inestable) - Todas las órbitas (excepto las variedades) escapan al infinito

Matriz ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 1, \, \lambda_2 = -1\]

Autovalor real doble con multiplicidad geométrica 2: \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\)

Condición: \(A = \lambda I\) (matriz escalar)

Comportamiento: - Todas las direcciones son direcciones propias - Las órbitas son líneas rectas hacia/desde el origen - Nodo estrella estable: \(\lambda < 0\) - Nodo estrella inestable: \(\lambda > 0\)

Matriz ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \lambda_2 = -1\]

Autovalor real doble con multiplicidad geométrica 1: \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) pero \(A \neq \lambda I\)

Condición: Existe un solo autovector linealmente independiente (bloque de Jordan)

Comportamiento: - Una dirección especial (autovector) - Las demás órbitas se curvan hacia esa dirección - Nodo impropio estable: \(\lambda < 0\) - Nodo impropio inestable: \(\lambda > 0\)

Matriz ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \lambda_2 = -1, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Autovalores complejos puros: \(\lambda = \pm i\omega\) (sin parte real)

Ecuación característica: \(\Delta < 0\) y \(\text{tr}(A) = 0\)

Comportamiento: - Órbitas cerradas (elípticas) - El sistema es periódico (conservativo) - No hay atracción ni repulsión

Matriz ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \lambda = \pm i\]

Autovalores complejos conjugados con parte real: \(\lambda = \alpha \pm i\omega\) (\(\alpha \neq 0\))

Ecuación característica: \(\Delta < 0\) y \(\text{tr}(A) \neq 0\)

Comportamiento: - Foco estable (espiral entrante): \(\alpha < 0\) → Órbitas espiralan hacia el origen - Foco inestable (espiral saliente): \(\alpha > 0\) → Órbitas espiralan alejándose

Matriz ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \lambda = -1 \pm i\]

Al menos un autovalor cero: Sistema singular (\(\det(A) = 0\))

Subtipos:

Subtipo A: Recta de puntos fijos (\(\lambda_1 = \lambda_2 = 0\))

Condición: \(A = 0\) (matriz nula)

Comportamiento: Todos los puntos son equilibrios.

Subtipo B: Familia de rectas paralelas (\(\lambda_1 = 0, \lambda_2 \neq 0\))

Comportamiento: - Una dirección tiene equilibrios (variedad de equilibrios) - En la dirección perpendicular hay flujo

Matriz ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 0, \, \lambda_2 = -1\]

La línea roja representa la recta de equilibrios (eje \(x\)).

Clasificación por Traza y Determinante

Para sistemas lineales 2D con matriz \(A\), el tipo de equilibrio se determina completamente por:

  • Traza: \(\tau = \text{tr}(A) = a + d\)
  • Determinante: \(\Delta = \det(A) = ad - bc\)
TipVisualizador Interactivo: Traza y Determinante

Diagrama τ-Δ (Traza-Determinante):

Interpretación del diagrama:

En el plano \((\tau, \Delta)\), las regiones corresponden a:

  • \(\Delta < 0\) (región roja): Silla (siempre inestable)
  • \(\Delta > 0\) y \(\tau^2 - 4\Delta > 0\) (región naranja/verde): Nodos (estables si \(\tau < 0\), inestables si \(\tau > 0\))
  • \(\Delta > 0\) y \(\tau^2 - 4\Delta < 0\) (región azul/roja oscura): Focos/espirales (estables si \(\tau < 0\), inestables si \(\tau > 0\))
  • \(\Delta > 0\) y \(\tau^2 - 4\Delta = 0\) (parábola punteada): Frontera entre nodos y focos
  • \(\tau = 0\) y \(\Delta > 0\) (eje vertical superior): Centros (órbitas cerradas)

El punto de color indica tu configuración actual, que se mueve al ajustar los sliders de τ y Δ.

Visualización 3D: Sistemas Tridimensionales

Hasta ahora hemos trabajado con sistemas 2D (plano de fases), pero muchos sistemas dinámicos interesantes requieren tres variables para su descripción completa. En esta sección exploramos:

  1. Sistemas 3D autónomos: \((x, y, z)\) evolucionan según ecuaciones diferenciales
  2. Atractores extraños: Comportamiento caótico en 3D
  3. Visualización interactiva 3D: Rotación, zoom, y exploración

Del Plano al Espacio: ¿Por qué 3D?

NotaDimensionalidad y Comportamiento

Sistemas 2D vs 3D:

Característica Sistemas 2D Sistemas 3D
Caos ❌ Imposible (Teorema de Poincaré-Bendixson) ✅ Posible (atractores extraños)
Órbitas Curvas en el plano Curvas en el espacio
Equilibrios Nodo, foco, centro, silla Más tipos (silla-foco, silla-nodo)
Ciclos límite Curvas cerradas 2D Toros y estructuras complejas
Complejidad Limitada Arbitrariamente compleja

¿Por qué el caos requiere 3D?

En sistemas 2D autónomos, las órbitas no pueden cruzarse (por unicidad de soluciones). Esto impide el comportamiento caótico, que requiere “mezcla” de trayectorias. En 3D, las órbitas pueden “esquivarse” sin cruzarse, permitiendo:

  • Sensibilidad a condiciones iniciales: Pequeños cambios → grandes diferencias
  • Atractores fractales: Estructuras con dimensión no entera
  • Mezcla topológica: Estiramiento y plegado del espacio de fases

Ejemplos de Sistemas 3D

Sistema de Lorenz (1963)

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = \sigma(y - x) \\ \frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y \\ \frac{dz}{dt} = xy - \beta z \end{cases} \]

Parámetros clásicos: \(\sigma = 10\), \(\rho = 28\), \(\beta = 8/3\)

Características: - Primer ejemplo de atractor extraño (caótico) - Modela convección atmosférica (Rayleigh-Bénard) - Dos “lóbulos” alrededor de equilibrios inestables - Sensibilidad extrema: cambios de \(10^{-5}\) en CI → órbitas divergentes - Dimensión fractal: \(D \approx 2.06\)

Física: - \(x\): intensidad de circulación convectiva - \(y\): diferencia de temperatura horizontal - \(z\): desviación de temperatura vertical

Interpretación de parámetros: - \(\sigma\) (Prandtl): viscosidad/conductividad térmica - \(\rho\) (Rayleigh): diferencia de temperatura aplicada - \(\beta\): relación de aspecto geométrica

Sistema de Rössler (1976)

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -y - z \\ \frac{dy}{dt} = x + ay \\ \frac{dz}{dt} = b + z(x - c) \end{cases} \]

Parámetros clásicos: \(a = 0.2\), \(b = 0.2\), \(c = 5.7\)

Características: - Atractor caótico más simple que Lorenz - Estructura de “banda enrollada” - Sección de Poincaré revela estructura fractal - Ruta al caos por doblamiento de período

Ventaja sobre Lorenz: Las ecuaciones son más simples, lo que facilita el análisis matemático.

Sistema de Aizawa (1987)

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = (z - b)x - dy \\ \frac{dy}{dt} = dx + (z - b)y \\ \frac{dz}{dt} = c + az - \frac{z^3}{3} - (x^2 + y^2)(1 + ez) + fzx^3 \end{cases} \]

Parámetros: \(a=0.95\), \(b=0.7\), \(c=0.6\), \(d=3.5\), \(e=0.25\), \(f=0.1\)

Características: - Atractor con simetría toroidal - Comportamiento más complejo que Lorenz - Hermosa estructura en forma de “flor” o “hélice” - Menos estudiado pero visualmente espectacular

Sistema de Chen (1999)

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = a(y - x) \\ \frac{dy}{dt} = (c - a)x - xz + cy \\ \frac{dz}{dt} = xy - bz \end{cases} \]

Parámetros: \(a = 35\), \(b = 3\), \(c = 28\)

Características: - Similar a Lorenz pero no topológicamente equivalente - Descubierto como parte de la familia de atractores Lorenz-like - Estructura de doble scroll más simétrica - Importante en criptografía y comunicaciones seguras

Sistema de Thomas (1999)

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -bx + \sin(y) \\ \frac{dy}{dt} = -by + \sin(z) \\ \frac{dz}{dt} = -bz + \sin(x) \end{cases} \]

Parámetro: \(b = 0.208186\)

Características: - Atractor con simetría cíclica (invariante bajo rotaciones de 120°) - Forma de “pretzel” o nudo tridimensional - Sistema disipativo con comportamiento caótico - Usado en modelos de osciladores acoplados

Sistema de Halvorsen

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -ax - 4y - 4z - y^2 \\ \frac{dy}{dt} = -ay - 4z - 4x - z^2 \\ \frac{dz}{dt} = -az - 4x - 4y - x^2 \end{cases} \]

Parámetro: \(a = 1.4\)

Características: - Simetría perfecta bajo permutaciones cíclicas de \((x,y,z)\) - Atractor con cuatro “lóbulos” interconectados - Comportamiento caótico con alta complejidad estructural - Belleza geométrica notable

Sistema de Sprott A (1994)

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = y \\ \frac{dy}{dt} = -x + yz \\ \frac{dz}{dt} = 1 - y^2 \end{cases} \]

Características: - Uno de los sistemas caóticos más simples conocidos - Solo 5 términos (mínimo para caos en 3D con polinomios cuadráticos) - Parte de una colección de 19 sistemas simples caóticos (Sprott A-S) - Exponente de Lyapunov positivo a pesar de su simplicidad

Relevancia: Demuestra que el caos no requiere ecuaciones complicadas.

Chaos en Sistemas 3D

NotaTeoría de Sistemas Caóticos

Características del Caos Determinista

1. Sensibilidad a Condiciones Iniciales

Pequeñas diferencias iniciales \(\delta_0\) crecen exponencialmente:

\[\delta(t) \approx \delta_0 e^{\lambda t}\]

donde \(\lambda > 0\) es el exponente de Lyapunov máximo.

Ejemplo Lorenz: \(\delta_0 = 10^{-5}\) → después de \(t \approx 10\) unidades, \(\delta(t) \sim 1\) (orden del atractor).

2. Atractores Extraños

Son conjuntos invariantes con: - Dimensión fractal: \(D\) no entera (ej: Lorenz \(D \approx 2.06\)) - Estructura autosimilar: Igual aspecto a diferentes escalas - Medida no uniforme: Algunas regiones más visitadas que otras

3. Mezcla Topológica

El flujo “estira y pliega” el espacio de fases: - Estiramiento: Separación de trayectorias cercanas - Plegado: Mantiene el atractor acotado

Herramientas de Análisis

Exponentes de Lyapunov - \(\lambda_1 > 0\): Caos (divergencia exponencial) - \(\lambda_1 = 0\): Movimiento cuasiperiódico - \(\lambda_1 < 0\): Convergencia a equilibrio/ciclo

Dimensión de Kaplan-Yorke \[D_{KY} = j + \frac{\sum_{i=1}^j \lambda_i}{|\lambda_{j+1}|}\] donde \(j\) es el máximo índice tal que \(\sum_{i=1}^j \lambda_i \geq 0\).

Sección de Poincaré - Corte transversal del atractor - Revela estructura en 2D - Útil para detectar periodicidad

Diagrama de Bifurcación - Cómo cambia el atractor con un parámetro - Rutas al caos: doblamiento de período, intermitencia, crisis

Aplicaciones Prácticas

Sistema de Lorenz → Convección atmosférica

  • Predicción del tiempo limitada (horizonte ~10 días)
  • “Efecto mariposa”: pequeñas perturbaciones → grandes cambios
  • Modelos climáticos modernos: sistemas de dimensión \(\sim 10^7\)

Circuito de Chua → Atractor caótico en hardware

  • Resistor no lineal + inductores + capacitores
  • Generación de señales caóticas
  • Aplicación en comunicaciones seguras

Reacción de Belousov-Zhabotinsky

  • Oscilaciones químicas caóticas
  • Ondas de concentración viajeras
  • Modelo: sistema tipo Rössler

Redes neuronales caóticas

  • Modelos de Hindmarsh-Rose (neuronas)
  • Sincronización de osciladores
  • Ritmos cardíacos irregulares (fibrilación)

Generadores pseudoaleatorios

  • Sistemas tipo Lorenz/Chen como fuente de caos
  • Cifrado basado en sincronización caótica
  • Mayor seguridad que generadores lineales

Conservación del Volumen en Sistemas Hamiltonianos

Los sistemas hamiltonianos tienen la propiedad de conservar el volumen en el espacio de fases (Teorema de Liouville). Esto significa que si tomamos un conjunto de condiciones iniciales que ocupan cierta región, el flujo deformará esta región pero su área permanecerá constante.

Un sistema hamiltoniano tiene la forma: \[ \begin{cases} \frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p} \\ \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q} \end{cases} \]

donde \(H(q,p)\) es la función hamiltoniana (energía total del sistema).

Propiedad clave: La divergencia del campo vectorial es cero: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right) + \frac{\partial}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right) = 0 \]

Esta propiedad implica que el volumen (en 2D, el área) se conserva bajo el flujo.

Interpretación:

  • Región azul: Conjunto de condiciones iniciales (forma la región inicial)
  • Región roja: Evolución de esos puntos después del tiempo seleccionado

Observaciones importantes:

  1. La región puede deformarse, estirarse o doblarse, pero su área permanece constante
  2. Cada punto se mueve sobre una curva de energía constante
  3. Los sistemas hamiltonianos NO pueden tener atractores ni comportamiento disipativo
  4. Esta propiedad hace que los sistemas hamiltonianos sean reversibles en el tiempo

Ejemplos de sistemas hamiltonianos: - Oscilador armónico: movimiento circular - Péndulo simple: las órbitas dependen de la energía - Sistemas planetarios, partículas en campos electromagnéticos

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