Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Apuntes del Grado en Matemáticas Aplicadas y Física - Universidad Nebrija

Apuntes de la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias del Grado en Matemáticas Aplicadas y Física de la Universidad Nebrija.

Autor/a

Pablo Lobato de la Cruz

Fecha de publicación

18 de noviembre de 2025

Prefacio

Este libro ofrece una introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), orientada a estudiantes de los grados en Matemáticas Aplicadas y Física Aplicada. El contenido sigue el programa oficial de la asignatura y combina el desarrollo teórico con herramientas prácticas para abordar y resolver problemas.

Objetivos de Aprendizaje

Al finalizar este curso, el estudiante será capaz de:

Comprender los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales ordinarias
Clasificar y resolver diferentes tipos de EDO de primer orden y de orden superior
Aplicar técnicas analíticas para sistemas de ecuaciones lineales
Utilizar métodos cualitativos para analizar la estabilidad de sistemas
Resolver problemas de valor inicial y de frontera
Aplicar las EDO a problemas de modelado en ciencias e ingeniería

Contenido detallado

Ecuaciones diferenciales y sus soluciones
- Introducción a las EDO y terminología.
- El problema de Cauchy.
- EDO como modelos.
- Curvas integrales.
- Introducción a los sistemas dinámicos y aplicaciones.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
- EDO variables separables y homogéneas.
- EDO exactas.
- EDO lineales.
- EDO segundo orden. Reducción de orden.
- Modelos con EDO de primer orden.
EDO de orden superior y lineales
- Preliminares.
- Ecuaciones lineales de orden superior.
- Modelos con ecuaciones lineales.
- Ecuación de Cauchy - Euler.
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
- Sistemas lineales de primer orden.
- Matriz Exponencial.
- Planos de fases.
- Sistemas no lineales.
Estabilidad
Teoría de Frobenius para EDO de segundo orden
- Soluciones en puntos ordinarios.
- Soluciones en puntos singulares.
Problemas de valor en la frontera
- Problema de Sturm - Liouville.
Transformada de Laplace
- Definición y propiedades.
- Cálculo de transformadas y antitransformadas.
- Aplicación a la resolución de ecuaciones.

Seminarios
- Introducción a la Biología Matemática - Modelos de EDOs y problemas de optimización asociados

Metodología

Cada capítulo incluye:

Desarrollo teórico con demostraciones detalladas
Ejemplos resueltos paso a paso
Aplicaciones a problemas reales
Referencias para profundización

Prerequisitos

Se asume familiaridad con:

Cálculo diferencial e integral
Álgebra lineal básica
Funciones de variable compleja

Evaluación

La evaluación de la asignatura se organiza en dos convocatorias con criterios y ponderaciones distintas:

Convocatoria	Sistema de evaluación	Porcentaje
Ordinaria	SE1 Prueba parcial	15%
	SE2 Examen final	60%
	SE3 Presentación de trabajos	25%
Extraordinaria	SE2 Examen final	70%
	SE3 Presentación de trabajos	30%

Criterios y restricciones

Convocatoria Ordinaria:
- Asistencia: Para poder presentarse al examen ordinario es imprescindible haber asistido al menos al 25% de las clases presenciales.
- Calificación mínima en el examen final: Las ponderaciones anteriores solo se aplicarán si el alumno/a obtiene al menos un 4 sobre 10 en el examen final.
- Prácticas:
  - La no superación de los trabajos/prácticas supone el suspenso automático de la asignatura.
  - Para poder hacer media de los trabajos/prácticas es necesario obtener en cada uno de ellos una nota igual o superior a 3.5 puntos.
  - La nota media de todos los trabajos/prácticas debe ser igual o superior a 5.
Convocatoria extraordinaria:
- Calificación mínima en el examen final: Esta ponderación solo se aplica si se obtiene al menos un 4 en el examen final.
- Recuperación de Prácticas: Los trabajos suspensos en la convocatoria ordinaria pueden ser recuperados en extraordinaria previa petición escrita del estudiante al profesor en un plazo máximo de 10 días tras la publicación de la nota final de la ordinaria.

La superación de la asignatura requiere obtener al menos un 5 sobre 10 en la calificación global, cumpliendo los requisitos mínimos de asistencia y entrega de trabajos.

Agradecimientos

Este material ha sido desarrollado como apoyo a la docencia en la Universidad Nebrija, a la que agradezco por la oportunidad de desarrollar este material. También agradezco a las personas que han contribuido al curso con los seminarios: Federico Herrero, Loreto Pelaez y Javier Gutiérrez.

Universidad Nebrija - Grado en Matemáticas Aplicadas y Física Aplicada
Curso Académico 2025-26

# Prefacio {.unnumbered} Este libro ofrece una introducción a las **Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)**, orientada a estudiantes de los grados en Matemáticas Aplicadas y Física Aplicada. El contenido sigue el programa oficial de la asignatura y combina el desarrollo teórico con herramientas prácticas para abordar y resolver problemas. ## Objetivos de Aprendizaje {.unnumbered} Al finalizar este curso, el estudiante será capaz de: - Comprender los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales ordinarias - Clasificar y resolver diferentes tipos de EDO de primer orden y de orden superior - Aplicar técnicas analíticas para sistemas de ecuaciones lineales - Utilizar métodos cualitativos para analizar la estabilidad de sistemas - Resolver problemas de valor inicial y de frontera - Aplicar las EDO a problemas de modelado en ciencias e ingeniería :::{.content-hidden when-format="pdf"} ## Contenido detallado {.unnumbered} 1. **Ecuaciones diferenciales y sus soluciones** - Introducción a las EDO y terminología. - El problema de Cauchy. - EDO como modelos. - Curvas integrales. - Introducción a los sistemas dinámicos y aplicaciones. 2. **Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden** - EDO variables separables y homogéneas. - EDO exactas. - EDO lineales. - EDO segundo orden. Reducción de orden. - Modelos con EDO de primer orden. 3. **EDO de orden superior y lineales** - Preliminares. - Ecuaciones lineales de orden superior. - Modelos con ecuaciones lineales. - Ecuación de Cauchy - Euler. 4. **Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias** - Sistemas lineales de primer orden. - Matriz Exponencial. - Planos de fases. - Sistemas no lineales. 5. **Estabilidad** 6. **Teoría de Frobenius para EDO de segundo orden** - Soluciones en puntos ordinarios. - Soluciones en puntos singulares. 7. **Problemas de valor en la frontera** - Problema de Sturm - Liouville. 8. **Transformada de Laplace** - Definición y propiedades. - Cálculo de transformadas y antitransformadas. - Aplicación a la resolución de ecuaciones. - **Seminarios** - Introducción a la Biología Matemática - Modelos de EDOs y problemas de optimización asociados ::: ## Metodología {.unnumbered} Cada capítulo incluye: - **Desarrollo teórico** con demostraciones detalladas - **Ejemplos resueltos** paso a paso  - **Aplicaciones** a problemas reales - **Referencias** para profundización ## Prerequisitos {.unnumbered} Se asume familiaridad con: - Cálculo diferencial e integral - Álgebra lineal básica - Funciones de variable compleja ## Evaluación {.unnumbered} La evaluación de la asignatura se organiza en dos convocatorias con criterios y ponderaciones distintas: | Convocatoria | Sistema de evaluación | Porcentaje | | ------------------ | ---------------------------- | ---------- | | **Ordinaria** | SE1 Prueba parcial | 15% | | | SE2 Examen final | 60% | | | SE3 Presentación de trabajos | 25% | | **Extraordinaria** | SE2 Examen final | 70% | | | SE3 Presentación de trabajos | 30% | ### Criterios y restricciones - **Convocatoria Ordinaria:** - **Asistencia:** Para poder presentarse al **examen** **ordinario** es imprescindible haber asistido al menos al **25%** de las clases presenciales. - **Calificación mínima en el examen final:** Las ponderaciones anteriores solo se aplicarán si el alumno/a obtiene al menos un **4 sobre 10** en el examen final. - **Prácticas:** - La no superación de los trabajos/prácticas supone el **suspenso automático** de la asignatura. - Para poder hacer media de los trabajos/prácticas **es necesario** obtener **en cada** **uno** de ellos una nota igual o superior a **3.5** **puntos**. - La **nota media** de todos los trabajos/prácticas debe ser igual o superior a **5**. - **Convocatoria extraordinaria:** - **Calificación mínima en el examen final:** Esta ponderación solo se aplica si se obtiene al menos un 4 en el examen final. - **Recuperación de Prácticas:** Los trabajos suspensos en la convocatoria ordinaria pueden ser recuperados en extraordinaria previa petición escrita del estudiante al profesor en un plazo máximo de 10 días tras la publicación de la nota final de la ordinaria. La superación de la asignatura requiere obtener al menos un 5 sobre 10 en la calificación global, cumpliendo los requisitos mínimos de asistencia y entrega de trabajos. ## Agradecimientos {.unnumbered} Este material ha sido desarrollado como apoyo a la docencia en la Universidad Nebrija, a la que agradezco por la oportunidad de desarrollar este material. También agradezco a las personas que han contribuido al curso con los seminarios: Federico Herrero, Loreto Pelaez y Javier Gutiérrez.   :::{.content-visible when-format="html"} ------------------------------------------------------------------------ <small> *{{< var universidad >}} ![](qmds/images/2025-10-10-19-22-28.png){width=2%} - {{< var grado >}}*\ *Curso Académico {{< var curso >}}* *© Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional ([CC BY-NC-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es))* </small> :::