Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Apuntes del Grado en Matemáticas Aplicadas y Física - Universidad Nebrija
Prefacio
Este libro ofrece una introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), orientada a estudiantes de los grados en Matemáticas y Física Aplicada. El contenido sigue el programa oficial de la asignatura y combina el desarrollo teórico con herramientas prácticas para abordar y resolver problemas.
El objetivo es que sea un material válido como referencia para cualquier disciplina STEM que necesite una introducción a esta rama de las matematicas. Por eso se busca un equilibrio entre rigor teórico, claridad expositiva y enfoque práctico.
Para ideas para extender, erratas o cualquier otro tema relacionado con los apuntes, contactar a pablolobatodelacruz+ode@gmail.com
Introducción
Al igual que la Estadística es la disciplina de las matemáticas que estudia la incertidumbre, o que la Geometría se ocupa de la forma y el espacio, las Ecuaciones Diferenciales constituyen la rama que estudia el cambio. En esencia, una ecuación diferencial describe cómo una cantidad varía en función de otra, caracterizando una función a través de su tasa de cambio o derivadas.
El estudio de las ecuaciones diferenciales surge de la necesidad de modelar fenómenos naturales y procesos dinámicos evolucionarios: el crecimiento de una población, el enfriamiento de un cuerpo, la descarga de un condensador, el movimiento de un péndulo o la propagación de una enfermedad. En todos ellos, la información esencial no proviene de valores aislados, sino de cómo esas magnitudes cambian con respecto al tiempo o a otras variables. Por ejemplo:
\[ y' = y \]
El desarrollo de las ecuaciones diferenciales está íntimamente ligado a la historia de la ciencia. Desde Newton y Leibniz, quienes establecieron las bases del cálculo, hasta Euler, Lagrange y Laplace, que las convirtieron en un lenguaje universal de la física, las EDO han sido la herramienta central para expresar las leyes del mundo en forma matemática.
Este libro está dedicado al estudio sistemático de esas ecuaciones, sus métodos de resolución y su interpretación. Nuestro objetivo va más allá de la técnica: busca mostrar las ideas profundas sobre la dinámica de los sistemas, el orden oculto del cambio y la belleza del razonamiento que los describe.
Enfoque del contenido
En este texto nos centraremos exclusivamente en las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Nuestro propósito será doble: comprender sus métodos de resolución y analizar su interpretación geométrica y cualitativa.
El estudio analítico nos permitirá encontrar soluciones explícitas o implícitas, mientras que el enfoque geométrico nos ayudará a visualizar el comportamiento de las trayectorias, los campos de direcciones y los puntos de equilibrio asociados a cada sistema. De este modo, aprenderemos no solo a calcular soluciones, sino también a interpretar su significado dinámico.
Sobre el material
El libro está diseñado para ser autocontenido. Se puede descargar el pdf (enlace en el título del indice a la izquierda) aunque hay material interactivo exclusivo en la web.
Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar este curso, el estudiante será capaz de:
- Comprender los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales ordinarias
- Clasificar y resolver diferentes tipos de EDO de primer orden y de orden superior
- Aplicar técnicas analíticas para sistemas de ecuaciones lineales
- Utilizar métodos cualitativos para analizar la estabilidad de sistemas
- Resolver problemas de valor inicial y de frontera
- Aplicar las EDO a problemas de modelado en ciencias e ingeniería
Prerequisitos
Contenido detallado
Ecuaciones diferenciales y sus soluciones
- Introducción a las EDO y terminología.
- El problema de Cauchy.
- EDO como modelos.
- Curvas integrales.
- Introducción a los sistemas dinámicos y aplicaciones.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
- EDO variables separables y homogéneas.
- EDO exactas.
- EDO lineales.
- EDO segundo orden. Reducción de orden.
- Modelos con EDO de primer orden.
EDO de orden superior y lineales
- Preliminares.
- Ecuaciones lineales de orden superior.
- Modelos con ecuaciones lineales.
- Ecuación de Cauchy - Euler.
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
- Sistemas lineales de primer orden.
- Matriz Exponencial.
- Planos de fases.
- Sistemas no lineales.
Estabilidad
Teoría de Frobenius para EDO de segundo orden
- Soluciones en puntos ordinarios.
- Soluciones en puntos singulares.
Problemas de valor en la frontera
- Problema de Sturm - Liouville.
Transformada de Laplace
- Definición y propiedades.
- Cálculo de transformadas y antitransformadas.
- Aplicación a la resolución de ecuaciones.
Agradecimientos
Este material ha sido desarrollado de forma independiente como apoyo a la docencia en la Universidad Nebrija, a la que agradezco por la oportunidad de enseñar la asignatura. También agradezco a las personas que han contribuido al curso con los seminarios: Federico Herrero, Loreto Pelaez y Javier Gutiérrez.
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